Teória pravdepodobnosti II

  • Kredity: 5
  • Ukončenie: Skúška
  • Rozsah: 2P + 2C
  • Semester: zimný
  • Ročník: 2
  • Fakulta hospodárskej informatiky

Vyučujúci

Zaradený v študijných programoch

aktuárstvo

Výsledky vzdelávania

Absolvovaním predmetu Teória pravdepodobnosti II si študenti rozšíria svoje vedomosti z oblasti jednorozmerných pravdepodobnostných rozdelení náhodných premenných. Získajú poznatky o aparáte na výpočet pravdepodobností a číselných charakteristík (aj podmienených) v prípade dvojrozmerných rozdelení. Tie môžu využiť v druhej časti výuky kurzu, v ktorej sa budú zaoberať problematikou určovania združeného rozdelenia pomocou kopula funkcií. To vhodne zachytáva prípadnú závislosť marginálnych náhodných premenných. Pomocou softvérovej podpory jazyka R, resp. MS Excel zvládnu aj simuláciu hodnôt z týchto rozdelení, ktorú môžu využiť pri riešení rôznych problémov v oblasti aktuárstva, ako napríklad pri agregácii rizík.
Vedomosti
Študenti získajú vedomosti o dvojrozmerných pravdepodobnostných rozdeleniach, o ich charakteristikách, a o využití generovania hodnôt z týchto rozdelení. Ďalej získajú poznatky o určovaní rozdelenia súčtu náhodných premenných. Zároveň budú disponovať poznatkami z problematiky modelovania dvojrozmerných rozdelení náhodných premenných pomocou kopula funkcií.
Kompetentnosti
Na základe získaných vedomostí budú študenti disponovať kompetenciou pre výber vhodného prístupu pre realizáciu pravdepodobnostných výpočtov, ako aj pre posúdenie závislosti náhodných premenných. Budú vedieť zhodnotiť výber vhodnej kopula funkcie pri modelovaní údajov z dátového súboru.
Zručnosti
Po absolvovaní kurzu študenti dokážu:
• realizovať pravdepodobnostné výpočty,
• určiť závislosť medzi náhodnými premennými,
• realizovať a využiť generovanie hodnôt dvojrozmerných náhodných premenných pri riešení úloh,
• realizovať rôzne grafické výstupy a interpretácie,
• používať výpočtovú techniku a softvérovú podporu (jazyk R, MS Excel),
• realizovať agregáciu náhodných premenných pomocou kopula funkcií.

Stručná osnova predmetu

Pojem viacrozmernej náhodnej premennej. Marginálne rozdelenie premenných. Združená pravdepodobnostná a distribučná funkcia diskrétnej dvojrozmernej náhodnej premennej. Združená hustota pravdepodobnosti a distribučná funkcia spojitej dvojrozmernej náhodnej premennej. Podmienené zákony rozdelenia dvojrozmernej náhodnej premennej. Závislosť náhodných premenných, kovariancia a korelácia. Grafická interpretácia. Číselné charakteristiky podmienených rozdelení dvojrozmernej náhodnej premennej. Vytvárajúce funkcie marginálnych náhodných premenných, konvolúcie, Laplaceova transformácia. Rozdelenie súčtu dvoch marginálnych náhodných premenných a jeho charakteristiky. Dvojrozmerné normálne a t rozdelenie. Generovanie ich hodnôt. Vizualizácia v prostredí jazyka R. Kopula funkcie. Vlastnosti kopúl. Sklarova veta. Survival copula. Miery závislosti (Pearsonov korelačný koeficient, Kendallov a Spearmanov koeficient poradovej korelácie) a chvostová závislosť. Klasifikácia kopula funkcií. Elementárne kopuly(nezávislá, komonotónna), Implicitné kopuly(Gaussova, Studentova), Archimedovské kopuly (Claytonova, Frankova, Gumbelova) a iné. Kalibrovanie kopula funkcie. Parametrický a neparametrický odhad parametrov. Overenie výberu vhodnej kopula funkcie. Simulácia kopula funkcií, generovanie hodnôt dvojrozmerného rozdelenia pomocou kopula funkcie, ich vizualizácia pomocou scatterplotu. Využitie kopula funkcií pri agregácii dvoch marginálnych náhodných premenných.

Odporúčaná literatúra

1. Fecenko, J.: Teória pravdepodobnosti II v Maxime. Letra Edu. 2018.
2. Ruppert, D., Matteson S., D.: Statistics and Data Analysis for Financial Engineering with R examples. Springer. 2015.
3. Everitt, B., Hothorn, T.: An Introduction to Applied Multivariate Analysis with R. Springer. 2011.
4. Hofert, M., Kojadinovic, I., Mächler, M., & Yan,J.: Elements of copula modeling with R. Springer. 2018.
5. Devore, L.,J.: Probability & Statistics for Engineering and the Sciences. Brooks/Cole. 2012.
6. Charpentier, A.: Computation actuarial science with R. Taylor & Francis Group. 2015.
7. Joe, H.: Dependence Modeling with Copulas. Taylor & Francis Group, LLC. 2015.
8. Škrovánková, L., Simonka, Z. Aktuárske metódy a modely v penzijnom, zdravotnom a nemocenskom poistení. Brno : H.R.G., 2021.

Sylabus predmetu

1. Pojem viacrozmernej náhodnej premennej. Marginálne rozdelenie premenných. Združená pravdepodobnostná a distribučná funkcia diskrétnej dvojrozmernej náhodnej premennej. 2. Združená hustota pravdepodobnosti a distribučná funkcia spojitej dvojrozmernej náhodnej premennej. 3. Podmienené zákony rozdelenia dvojrozmernej náhodnej premennej. Závislosť náhodných premenných, kovariancia a korelácia. Grafická interpretácia. 4. Číselné charakteristiky podmienených rozdelení dvojrozmernej náhodnej premennej. 5. Vytvárajúce funkcie marginálnych náhodných premenných, konvolúcie, Laplaceova transformácia. 6. Rozdelenie súčtu dvoch marginálnych náhodných premenných a jeho charakteristiky. 7. Dvojrozmerné normálne a t rozdelenie. Generovanie ich hodnôt. Vizualizácia v prostredí jazyka R. 8. Kopula funkcie. Vlastnosti kopúl. Sklarova veta. Survival copula. 9. Miery závislosti (Pearsonov korelačný koeficient, Kendallov a Spearmanov koeficient poradovej korelácie) a chvostová závislosť. 10. Klasifikácia kopula funkcií. Elementárne kopuly(nezávislá, komonotónna), Implicitné kopuly(Gaussova, Studentova), Archimedovské kopuly(Claytonova, Frankova, Gumbelova) a iné. 11. Kalibrovanie kopula funkcie. Parametrický a neparametrický odhad parametrov. Overenie výberu vhodnej kopula funkcie. 12. Simulácia kopula funkcií, generovanie hodnôt dvojrozmerného rozdelenia pomocou kopula funkcie, ich vizualizácia pomocou scatterplotu. 13. Využitie kopula funkcií pri agregácii dvoch marginálnych náhodných premenných.

Podmienky na absolvovanie predmetu

30 % 2 priebežné písomné práce(s využitím softvérovej podpory),
70 % písomná skúška(s využitím softvérovej podpory)

Pracovné zaťaženie študenta

Pracovné zaťaženie študenta (v hodinách): 130 h
26 hodín - účasť na prednáškach,
26 hodín - účasť na cvičeniach,
16 hodín - príprava na cvičenia, vypracovanie domácich úloh,
20 hodín - príprava na zápočtové písomné práce,
42 hodín - samostatné štúdium v rámci prípravy na skúšku.

Jazyk, ktorého znalosť je potrebná na absolvovanie predmetu

slovenský

Dátum schválenia: 11.03.2024

Dátum poslednej zmeny: 15.05.2022

Dátum schválenia: 11.03.2024

Dátum poslednej zmeny: 15.05.2022